PROGRAM ORIENTUES PËR PROVIMIN KOMBËTAR TË MATURËS SHTETËRORE

           

                    

    PËR SHKOLLËN E MESME TË PËRGJITHSHME TË PROFILIZUAR

Nëntor, 2009

UDHËZIME PËR ZBATIMIN E PROGRAMEVE ORIENTUESE

Programet orientuese për Maturën shtetërore 2010 i drejtohen në radhë të parë nxënësve dhe mësuesve,por ato vlejnë edhe për prindërit e drejtuesit e arsimit në nivel shkolle e rajoni.

Për nxënësit, ato synojnë të orientojnë përgatitjen e tyre nëpërmjet përqendrimit në konceptet, njohuritë dhe shprehitë kryesore.

Për mësuesit, ato synojnë të ndihmojnë organizimin e punës për përsëritjen paralele dhe për kontrollin përfundimtar të shkallës së formimit të nxënësve nëpërmjet dhënies së peshave të linjave të përmbajtjes .Ato synojnë gjithashtu edhe në përgatitjen e nxënësve me shprehitë e nevojshme për të punuar në testet me shkrim .,

Për prindërit, ato japin informacionin e nevojshëm për të ndjekur nga afër punën që kërkohet të bëjnë fëmijët e tyre, në mënyrë që të ndihmohen ata në respektimin e një regjimi të përshtatshëm ditor e afatgjatë.

Për drejtuesit e arsimit të të gjitha niveleve, këto programe krijojnë mundësinë e verifikimit paraprak të shkallës së përgatitjes përfundimtare të nxënësve brenda një institucioni të caktuar shkollor,i cili mund të realizohet duke zhvilluar testime përmbledhëse.

Hartimi i këtyre programeve synon gjithashtu:

 Të ndihmojë gjykimin për kurrikulin ekzistues

 Të pasqyrojë rezultate të cilat do t’i shërbejnë nxënësit për të përzgjedhur vazhdimin e shkollimit.

 T’u japë mësuesve informacionin e nevojshëm për të përmirësuar mësimdhënien

Përgatitja e nxënësve për provimet e pjekurisë duhet të bëhet në mënyrë të vazhdueshme dhe duke përdorur një larmi metodash,procedurash e mjetesh. Në këtë kuadër është e dobishme praktika e të mësuarit nga nxënësit të teknikave për vetëvlerësim.

Gjatë punës me këto programe kujdes duhet t’i kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit të nxënësve. Në këtë kuadër, duhet të mbajmë parasysh se nuk ka rëndësi riprodhimi i përmbajtjes lëndore dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta.

Nxënësi duhet të fiksojë në kujtesë një numër faktesh të rëndësishme. Por kjo nuk do të thotë që në procesin e të nxënit,kujtesa e tij të rëndohet tej mase me rregulla e formula të ndryshme. Prandaj hartimi i programeve orientuese nuk bazohet thjesht në kujtesën mekanike.

Gjatë punës për përgatitjen e nxënësve për provimet e Maturës Shtetërore është e rëndësishme që herë pas here mësuesi të zhvillojë testime të nxënësve të tij me teste që mund t’i hartojë vetë. Gjatë hartimit të tyre duhet mbajtur parasysh pesha për çdo linjë të përmbajtjes si edhe përfshirja e kërkesave të tre niveleve të vështirësisë në raportet 2:2:1(duke filluar prej nivelit minimal). Kërkesat duhet të jenë dy llojesh:me zgjedhje të shumëfishtë e me shtjellim të argumentuar.

Programet janë ndërtuar në përputhje me parimet e hartimit të programeve mësimore që janë në zbatim në gjimnazet, duke i shtrirë metodat dhe idetë kryesore në të gjitha linjat për të realizuar kompaktësimin e lëndës. Puna me këto programe nënkupton përzgjedhjen dhe zbatimin nga mësuesit të metodave dhe formave të përshtatshme të punës në orën mësimore. Mësuesi është gjithashtu i lirë të gjykojë për sasinë dhe llojshmërinë e

zbatimeve dhe të ushtrimeve që duhet të zhvillojë, duke u mbështetur në arritjet e pritshme mësimore.

Është me rëndësi të veçantë zbatimi i parimit të veprimtarisë së vetëdijshme të nxënësit: metodat dhe format e punës gjatë përgatitjes duhet të nxisin procesin e përvetësimit të njohurive me veprimtarinë e vetë nxënësit, duke u mbështetur në njohuritë e fituara më parë dhe në përvojën e tij.

Mësuesi në punën e tij duhet të veçojë me qartësi konceptet dhe shprehitë e domosdoshme që duhet të mësojnë nxënësit për secilin kapitull. Ai duhet të dallojë me qartësi konceptet dhe shprehitë e nivelit minimal që duhet të përvetësojnë nxënësit për secilin kapitull. Duke ndjekur me vëmendje mundësitë reale të nxënësve, ai duhet të përqendrohet në ushtrime të lehta, por të larmishme, që favorizojnë përvetësimin jomekanik të koncepteve dhe zotërimin e shkathtësive e të shprehive të domosdoshme. Krahas kësaj, duhet të shmanget edhe prirja për një thjeshtësim të pamotivuar të lëndës. Nga ana tjetër, mësuesi duhet të bëjë gjithashtu kujdes për fitimin e njohurive sistematike e të qëndrueshme, sepse të mësuarit e matematikës është jo vetëm proces, por edhe rezultat.

Në didaktikën bashkëkohore po shtrohet me forcë theksimi i aspektit praktik të njohurive që asimilon nxënësi në secilën klasë si dhe rritja e vlerave aplikative të tyre. Për të vlerësuar efikasitetin e punës së tij, mësuesi duhet të ketë si kriter kryesor jo vetëm atë sa kanë përvetësuar nxënësit, por sa janë në gjendje të veprojnë me to, si operojnë me ato në situata të ndryshme, si orientohen dhe zgjidhin problemet e detyrat që u dalin në veprimtarinë mësimore .

Programet orientuese të matematikës bazohen në parimin se të zotërosh njohuri matematike do të thotë të jesh në gjendje t’i zbatosh ato;

- në pjesë të ndryshme të vetë lëndës së matematikës

- në lëndët e tjera shkollore

- në situata të jetës së përditshme

- në situata reale social- ekonomike dhe profesionale.

Kompaktësimi i lëndës mbi bazën e koncepteve dhe metodave kryesore duhet të pasqyrohet domosdoshmërish edhe në mësimdhënie e nxënie; metodat e trajtuara në një pjesë të lëndës duhet të zbatohen, sa herë që është e mundur, për zgjidhjen e problemeve në pjesë të tjera (p.sh, të përdoren metoda të algjebrës si zgjidhja e ekuacioneve për të zgjidhur probleme gjeometrie me njehsim).

Zgjidhja e problemave duhet të zërë një pjesë të rëndësishme të kohës së punës gjatë përgatitjes. Ajo përgjithësisht përfshin kërkimin, përzgjedhjen e informacionit të nevojshëm, parashikimin e përfundimeve të mundshme, planifikimin, realizimin e planit, vlerësimin dhe interpretimin e përfundimeve, komunikimin e tyre.

Nxënësve duhet t’u jepet mundësia:

 të pozojnë problema matematike që kanë të bëjnë me situata konkrete e reale.

 të përfshihen në zgjidhjen e problemave që kërkojnë formulimin e hamendjeve

 të formulojnë problema nga situata matematike të ndryshme

 të njohin strategji të ndryshme për zgjidhjen e problemave

 të hetojnë për mënyra të ndryshme të zgjidhjes së problemave

 të kontrollojnë me mënyra të ndryshme zgjidhjen e gjetur të problemës dhe çdo hap që kanë kryer për të arritur tek kjo zgjidhje

 Të shqyrtojnë besueshmërinë e përfundimit, duke krahasuar përfundimin me realitetin

Programet orientuese,në përshtatje me programet mësimore të lëndës së matematikës në shkollat e mesme janë paraqitur sipas këtyre linjave:

17. Gjuha dhe komunikimi matematik

18. Arsyetimi matematik

19. Numri (kuptimi i numrit, bashkësitë numerike; veprime me numrat, njehsimet)

20. Shprehjet me ndryshore dhe shndërrimet algjebrike të tyre;

21. Ekuacionet (ekuacionet dhe sistemet e tyre; inekuacionet dhe sistemet e tyre)

22. Funksioni(Studimi elementar;njehsimi diferencial e integral)

23. Figurat gjeometrike (vetitë; pozicioni reciprok dhe shndërrimet e tyre)

24. Matjet

25. Analiza e të dhënave dhe statistika (mbledhja, organizimi dhe paraqitja e të dhënave; përshkrimi dhe interpretimi i tyre; inferenca dhe parashikimi)

26. Probabiliteti (kombinatorika; probabiliteti)

Për sa i përket zgjidhjes problemore, që është një pjesë thelbësore e të mësuarit të matematikës, ajo ka të bëjë me çdo linjë të përmbajtjes. Meqenëse zgjidhja problemore përshkon secilën nga linjat e përmbajtjes, në programet orientuese ajo nuk është paraqitur si linjë e veçantë (më vete).

Koncepte

Bashkësia dhe ndryshorja. Nënbashkësia. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Prodhimi kartezian i dy bashkësive.

Numri racional,numri real. Bashkësia R.Intervali, segmenti. Vlera absolute e numrit real.

Fuqia me eksponent racional. Rrënja me tregues n..

Numri kompleks.

Pohimi, predikati. Konjunksioni, disjunksioni i predikateve. Predikate të njëvlershme. Teorema. teorema e anasjelltë,kushti i nevojshëm e i mjaftueshëm.

Induksioni matematik.

Ekuacioni me një e me dy ndryshore. Kuptimi i zgjidhjes. Njëvlershmëria e ekuacioneve. Ekuacione me një ndryshore të fuqisë së parë, fuqisë së dytë, bikuadratë, irracionalë, trigonometrikë, eksponencialë, logaritmikë.

Mosbarazimi numerik, mosbarazimi shkronjor.

Inekuacioni i fuqisë së parë dhe i fuqisë së dytë me një ndryshore. Kuptimi i zgjidhjes. Njëvlershmëria e inekuacioneve. Inekuacione me anë të majtë në trajtë prodhimi a thyese. Inekuacione me vlera absolute.

Sisteme ekuacionesh me dy ndryshore. Kuptimi i zgjidhjes. Sisteme ekuacionesh me disa ndryshore.

Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë apo të fuqisë së dytë me një ndryshore. Kuptimi i zgjidhjes.

Kuptimi i funksionit. Bashkësia e përcaktimit dhe bashkësia e vlerave të funksionit.

Grafiku i funksionit.

Funksioni linear, i fuqisë së dytë. Polinomi,funksioni racional,funksioni fuqi me eksponent real. Funksione që në pjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit jepen me formula të ndryshme

Funksione të kufizuar. Funksione monotone. Çiftësia dhe periodiciteti i funksionit.

Kuptimi i logaritmit.

Funksioni eksponencial dhe ai logaritmik.

Funksionet trigonometrike sinus, kosinus dhe tangent.

Funksioni i anasjelltë dhe grafiku i tij.

Përbërja e dy funksioneve.

Vargu numerik. Varg i dhënë në mënyrë rekurrente. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik.

Kuptimi i limitit të funksionit në një pikë ose në  .

Funksione p.m.v dhe p.m.m në një pikë ose në  .

Kuptimi i asimptotës, asimptotat horizontale, vertikale.

Limitet e njëanshme.

Funksioni i vazhdueshëm në një pikë. Pikat e këputjes.

Derivati i funksionit në një pikë. Diferenciali i funksionit. Derivati i rendit n.

Ekstremumet e funksionit.

Funksioni i mysët (i lugët). Pikat e infleksionit.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në një bashkësi..

Kuptimi i funksionit primitivë. Integrali i pacaktuar.

Integrali i caktuar.

Mesatarja aritmetike, mesorja, moda.

Karakteristikat e shpërhapjes (amplitude, shmangia mesatare, dispersioni, shmangia

mesatare katrore)

Probabiliteti i një ngjarjeje. Ngjarje të papajtueshme. Ngjarje të pavarura. Probabiliteti i

bashkimit e prerjes së ngjarjeve.

Lista,dispozicionet, permutacionet dhe kombinacionet (pa dhe me përsëritje).

Kuptimet themelore e aksiomat. Përkufizimi e teorema

Figurat e thjeshta gjeometrike.

Kongruenca e trekëndëshave

Vektori në plan dhe në hapësirë. Shuma e dy a më tepër vektorëve. Prodhimi i një vektori

me një numër. Vektorët bashkëvijorë.

Koordinatat e pikës dhe vektorit.

Këndi i dy vektorëve. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Prodhimi vektorial i dy vektorëve.

Pasqyrimi gjeometrik. Izometria.

Simetria boshtore,simetria qendrore.

Zhvendosja paralele. Rrotullimi.

Homotetia. Ngjashmëria e trekëndëshave.

Shumëkëndësha të ngjashëm.

Sinusi, kosinusi e tangjenti i këndit të ngushtë dhe i këndit të trekëndëshit.

Drejtëza paralele në hapësirë, drejtëza paralele me planin, plane paralele.

Drejtëza pingule me një plan. Drejtëzat e pjerrëta me planin. Këndi i drejtëzës me planin.

Këndi dyfaqësh,prerja e drejtë. Plane pingule.

Prizmi. Paralelpipedi. Piramida.

Cilindri dhe koni rrethor i drejtë .

Sfera. Plani tangjent me sferën. Rruzulli.

Ekuacioni i vijës në plan.

Ekuacioni i parabolës, elipsit, hiperbolës dhe rrethit në planin koordinativ.

Tangjentet dhe pingulet me parabolën, elipsin, hiperbolën.

Njohuritë

Predikate të njëvlershme. Teorema si implikim i vërtetë për çdo element të mjedisit. Pjesët

përbërëse të teoremës.

Veprimet me bashkësitë dhe vetitë e tyre. Prerja dhe bashkimi .Prodhimi kartezian.

Përfshirja e bashkësive numerike.

Zgjidhja e sistemeve lineare.

Veprime me numra kompleksë,veti të tyre. Paraqitja gjeometrike, trigonometrike e numrit

kompleks. Formula e Muavrit. Zgjidhja e ekuacionit të gradës së dytë në bashkësinë e

numrave kompleksë.

Shndërrime të njëvlershme dhe jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.

Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së parë dhe të fuqisë së dytë me një ndryshore. Formulat e

Vietës. Zgjidhja e ekuacioneve me një ndryshore bikuadratë,trinomë,irracionalë me një a

dy rrënjë katrore, trigonometrikë, eksponencialë e logaritmikë. Ekuacione me ndryshore në

emërues.

Studimi i shenjës së binomit të fuqisë së parë e trinomit të fuqisë së dytë.

Veti të mosbarazimeve numerike dhe të mosbarazimeve shkronjore. Njëvlershmëria e

inekuacioneve me një ndryshore.

Zgjidhja e inekuacionit të fuqisë së parë dhe atij të fuqisë së dytë me një ndryshore.

Interpretimi grafik.

Mënyrat e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve me dy ndryshore.

Mënyrat e zgjidhjes së sistemeve të inekuacioneve të fuqisë së parë apo të fuqisë së dytë

me një ndryshore.

Mënyrat e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore në formë prodhimi apo thyese.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore dhe e sistemeve të tyre.

Pjesëtimi i një polinomi me (x-a). Skema e Hornerit.

Gjetja e bashkësisë së përcaktimit dhe bashkësisë së vlerave të funksionit të dhënë me

formulë apo me grafik.

Ndërtimi i grafikut të funksionit dhe leximi i tij. Ndërtimet e grafikëve të funksioneve: –

f,y= f(-x), y= | f(x)|, y= f(x)+n,y= f(x-m), y=f(x-m)+n, kur njohim grafikun e funksionit f.

Ndërtimet e grafikëve të funksioneve elementarë themelorë. Ndërtimet e grafikëve të

funksioneve të thjeshtë jo elementarë.

Përkufizimi dhe vetitë e logaritmit.

Funksioni eksponencial dhe logaritmik. Vetitë dhe grafikët e tyre.

Funksionet trigonometrike sinus, kosinus dhe tangjent. Variacioni, grafikët dhe vetitë e

tyre.

Formula të thjeshta trigonometrike. Formulat për funksionet trigonometrike të këndeve

shtuese, plotësuese,të shumës e diferencës së dy këndeve dhe të këndit të dyfishtë.

Funksioni i anasjelltë dhe grafiku i tij.

Përbërja e dy funksioneve.

Vargu numerik. Vargje rekurrentë. Progresioni aritmetik ,progresioni gjeometrik; formulat

për kufizën yn dhe për shumën Sn.

Përkufizimi i limitit të funksionit.

Funksione p.m.v dhe p.m.m në një pikë ose në  dhe vetitë e tyre.

Funksione që kanë limit një numër L në një pikë ose në infinit.

Teoremat mbi limitin e shumës, prodhimit, raportit të funksioneve. Limiti i polinomeve

dhe i thyesave racionale.

Gjetja e limiteve kur kemi format e pacaktuara

0

0

,





, 0, .

Gjetja e asimptotave horizontale, vertikale dhe të pjerrëta.

Disa limite të rëndësishme, si: 1

sin

lim

0



 x

x

x

, lim 1

0



 x

tgx

x

, e

x

x

x

 



)

1

lim (1 .Lidhja e

limitit me limitet e njëanshme.

Vazhdueshmëria e funksionit. Veprimet me funksionet e vazhdueshme në një pikë. Vetitë e

funksioneve të vazhdueshëm në segment.

Gjetja e derivatit të funksionit në një pikë. Lidhja me vazhdueshmërinë. Gjetja e diferencialit të funksionit.

Kuptimi gjeometrik dhe mekanik i derivatit.

Derivatet e funksioneve elementare.

Rregullat e derivimit. Derivati i rendit n.

Studimi i monotonisë me anën e derivatit.

Ekstremumet e funksionit. Kushtet e mjaftueshme për gjetjen e tyre. Përkulshmëria dhe pikat e infleksionit.

Studimi i variacionit të funksionit racional. Ndërtimi i grafikut.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit të derivueshëm.

Integrali i pacaktuar. Tabela e integraleve themelore. Veti të integralit të pacaktuar.

Metoda e zëvendësimit dhe integrimit me pjesë. Integrimi i thyesave racionale.

Integrali i caktuar. Veti të tij. Formula e Njuton-Laibnicit.

Zbatime të integralit të caktuar në njehsimin e syprinave të figurave plane.

Mesataret (Aritmetikja, mesorja, moda). Karakteristikat e shpërhapjes (amplitude, shmangia mesatare, dispersioni, shmangia mesatare katrore).

Gjetja e probabilitetit të një ngjarjeje në raste të thjeshta. Ngjarje të papajtueshme.

Probabiliteti i bashkimit dhe prerjes së ngjarjeve në raste të thjeshta. Probabiliteti me kusht; ngjarje të pavarura.

Lista, dispozicionet, permutacionet dhe kombinacionet me dhe pa përsëritje, skemat dhe formulat për njehsimin e numrit të tyre.

Vetitë kryesore të figurave të thjeshta gjeometrike.

Kongruenca e trekëndëshave

Shndërrime gjeometrike. Izometria. Zhvendosja paralele. Rrotullimi.

Vektori në plan dhe në hapësirë. Mbledhja, zbritja dhe shumëzimi me një numër i vektorëve. Vektorët bashkëvijorë.

Koordinatat e pikës dhe vektorit.

Shumëzimi numerik i dy vektorëve,vetitë e tij. Largesa midis dy pikave. Kushti i pingultisë së vektorëve.

Simetria boshtore,simetria qendrore.

Homotetia dhe ngjashmëria. Tri rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave.

Segmente përpjesëtimore.

Shumëkëndëshat e ngjashëm. Raporti i perimetrave dhe syprinave të tyre.

Marrëdhëniet metrike në trekëndëshin kënddrejtë dhe në rreth. Teoremat e Euklidit dhe Pitagorës.

Syprina e trekëndëshit.

Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë. Marrëdhëniet midis brinjëve e këndeve në trekëndëshin kënddrejtë.

Teorema e sinusit dhe kosinusit.

Veti të drejtëzave paralele në hapësirë, të drejtëzave paralele me planin dhe të planeve paralele.

Drejtëza pingule me një plan. Veti. Teorema e tri pinguleve. Këndi i drejtëzës me planin.

Këndi dyfaqësh. Veti të planeve pingule.

Vetitë kryesore të prizmit, paralelepipedit, piramidës.

Syprinat dhe vëllimet e tyre

Vetitë kryesore dhe syprina e cilindrit dhe konit rrethor të drejtë; vëllimi i cilindrit dhe konit rrethor.

Vetitë kryesore të sferës; vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferës. Plani tangjent me sferën.

Ekuacioni i përgjithshëm dhe kanonik i drejtëzës në plan. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë dhe është paralele ose pingule me një drejtëz. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.

Ekuacioni i thjeshtë i drejtëzës. Këndi ndërmjet dy drejtëzave. Kushtet e paralelizmit dhe pingultisë së drejtëzave. Largesa e pikës nga drejtëza.

Ekuacioni i rrethit në plan

Shumëzimi vektorial i dy vektorëve,vetitë e shprehja në koordinata.

Plani në hapësirë. Ekuacioni i planit që kalon nga një pikë pingul me një vektor. Kushtet e paralelizmit dhe pingultisë së dy planeve. Largesa e një pike nga plani.

Ekuacionet e drejtëzës në hapësirë.

Ekuacioni i parabolës, elipsit, hiperbolës në plan. Studimi i vijave nëpërmjet ekuacioneve të thjeshtuara. Ndryshimi i ekuacionit të tyre kur zhvendosen paralelisht në planin koordinativ.

Tangjentet dhe pingulet me parabolën, elipsin, hiperbolën. Kushtet e tangjencës.

Shprehitë

1. Gjuha dhe komunikimi matematik

Nxënësit të jenë të aftë:

- të kontrollojnë me mënyra të ndryshme zgjidhjen e gjetur të problemës dhe çdo hap që kanë kryer për të arritur tek kjo zgjidhje;

- të përshkruajnë, të shpjegojnë me shkrim, punën e tyre, procesin e zgjidhjes;

- të interpretojnë një informacion jo të ndërlikuar dhe jo të gjatë matematik; të marrin informacion nga paraqitjet me tabela, diagrama e grafikë dhe të transmetojnë këtë informacion duke e paraqitur atë me tabela, diagramë e grafikë;

- të përdorin simbolet matematike, veçanërisht simbolet algjebrike e gjeometrike, jo formalisht, por në një kuptim të qartë;

- të përkthejnë fjalë e fjali, për raste jo të ndërlikuara, në shprehje e barazime shkronjore dhe anasjelltas;

- të marrin informacion nga figurat gjeometrike jo të ndërlikuara dhe të japin informacion me figura të tilla;

- të renditin dhe të përdorin drejt elementet logjikë të gjuhës së përditshme si: "ose”, "dhe”, "rrjedh”, "nuk”, "duhet”, "mjafton”, "duhet e mjafton”, "anasjellas”, "nëqoftë se…”, "atëherë…” "të gjithë”, "asnjë”, "të paktën një”,” të shumtën një” "dmth”.

2. Arsyetimi matematik

Nxënësit të jenë të aftë:

- të vërtetojnë teorema të thjeshta (në algjebër, gjeometri, analizë etj);

- të hedhin poshtë, kur është rasti, fjali të jetës së përditshme dhe fjali me ndryshore me metodën e kundërshëmbullit;

- të formulojnë fjali të anasjelltë të fjalive të jetës së përditshme ose të fjalive të thjeshta me ndryshorë;

- të kryejnë arsyetimin logjik gjatë zgjidhjes së problemave;

- të përdorin metodën e induksionit matematik në raste të thjeshta;

- të dallojnë pjesët përbërëse të teoremës;

- të dallojnë fjalitë me ndryshore që janë të njëvlershme.

3. Numri (kuptimi i numrit, bashkësitë numerike; veprime me numrat, njehsimet)

Nxënësit të jenë të aftë:

- të dallojnë njëra nga tjetra bashkësitë e numrave natyrorë, të plotë , racionalë, realë e kompleksë. (relacioni NZQR K ). Në veçanti të dallojnë nënbashkësi të tyre si R+ , R*, etj;

- të shkruajnë në formë standarde një numër real;

- të përdorin formulën që lidh masën e këndit në gradë dhe në radian;

- të përdorin vetitë e rrënjëve që të gjejnë rrënjën e prodhimit, të herësit; të krahasojnë çdo dy rrënjë njëra më tjetrën, të zhdukin rrënjën nga emëruesi i thyesës;

- të tregojnë e t’i zbatojnë vetitë e fuqive me eksponent natyror, racional dhe real;

- të japin një numër kompleks në trajtat e tij algjebrike, trigonometrike dhe eksponenciale; të gjejnë modulin dhe argumentin e një numri kompleks të dhënë. Të përdorin formulën e Muavrit;

- të përdorin lirisht vetitë e mbledhjes, shumëzimit, ngritjes në fuqi, nxjerrjes së rrënjës me numrat nga bashkësitë N, Z, Q, R, K;

- të gjejnë numrin e dispozicioneve të n elementëve të dhënë,të marrë k nga k;

- të gjejnë numrin e përkëmbimeve që formohen me n elementë të dhënë (me e pa përsëritje) duke përdorur formulat;

- të gjejnë numrin e kombinacioneve që formohen me k elementë nga n gjithsej.

4. Shprehjet me ndryshore dhe shndërrimet algjebrike të tyre;

Nxënësit të jenë të aftë:

- të bëjnë shndërrime duke respektuar radhën e veprimeve në një shprehje shkronjore;

- të gjejnë për ç’vlera të ndryshores nuk ka kuptim një shprehje shkronjore e dhënë e thjeshtë;

-të tregojnë në se dy shprehje janë identike në një mjedis të caktuar dhe si mund të fitohen dy shprehje identike;

- të shkruajnë simbolikisht e t’i përdorin identitetet e shënuara si ato për diferencën e katrorëve , katrorin e binomit ,kubin e binomit ,shumën e diferencën e kubeve, rregullin për heqjen e kllapave kur para tyre është shenja ; për shumëzimin e monomeve dhe të polinomeve ( a+ b +c ) x; (a + b + c ) (m + n ); për zbërthimin e polinomeve në faktorë duke nxjerrë faktorin e përbashkët ose me grupim;

- të përdorin rregullat e shumëzimit , pjesëtimit apo ngritjes në fuqi të fuqive me baza të njëjta;

- të bëjnë thjeshtimin e thyesave algjebrike duke i faktorizuar më parë ato;

-të kryejnë veprime aritmetike me shprehje racionale të thjeshta. (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, ngritje në fuqi);

- të përdorin formulat për termin e përgjithshëm dhe shumën e n termave të para të një progresioni aritmetik dhe gjeometrik , përkatësisht

an = a1 + (n-1) d; an = a1 qn-1 dhe

Sn = n (a1 + an )/2 ; Sn = (an q- a1 )/(q-1);

- të përdorin vetitë e logaritmeve;

(Log ab =Log a + Log b; Log a/b = Loga-Log b, Logab = b Log a) në situata të thjeshta matematikore;

- të logaritmojnë një shprehje të dhënë ku ka eksponencialë, fuqi, herësa ose prodhime duke përdorur teoremat për logaritmet;

- të gjejnë sinusin e këndit nëse njihet kosinusi i tij dhe kuadranti ku ndodhet këndi

(dhe anasjellas) duke shfrytëzuar formulën themelore. sin² x + cos² x = 1;

- të përdorin formulat e reduktimit të vlerave të funksioneve trigonometrike të një

këndi çfarëdo nëpërmjet vlerave përkatëse të këndit të ngushtë (të kuadrantit të

parë);

- të gjejnë kosinusin dhe sinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve me formulat

përkatëse. Në veçanti t’i përdorin formulat sin 2  = 2 sin  cos  dhe cos 2 =

cos²  - sin ²  lirisht në situata të thjeshta e komplekse;

- të njohin e të përdorin teoremat e sinusit dhe kosinusit për gjetjen e elementëve të

panjohur në trekëndësh:

a/ sin  = b/sin  = c/sin  =2 R ;

a² = b² + c² - 2bc cos ;

-të bëjnë pjesëtimin e një polinomi me (x-a).

5. Ekuacionet (ekuacionet dhe sistemet e tyre; inekuacionet dhe sistemet e tyre)

Nxënësit të jenë të aftë:

- të zbatojnë njëvlershmërinë e ekuacioneve (inekuacioneve) në një mjedis të dhënë;

të përdorin shndërrimet kryesore që ruajnë njëvlershmërinë për t’i kthyer

ekuacionet (inekuacionet) e fuqisë së parë apo të dytë, me një apo dy ndryshore, të

trajtave të thjeshta, në trajtat standarde (kanonike);

- të përdorin lirisht mënyrat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve

(inekuacioneve) standarde të fuqisë së parë a të fuqisë së dytë, me një ndryshore

dhe të ekuacioneve me ndryshore në emërues që sillen në të tillë;

- të përdorin lirisht mënyrat e përgjithshme për zgjidhjen e sistemeve lineare me dy

ekuacione, me dy ndryshore;

- të përdorin mënyrën e përgjithshme të zgjidhjes së sistemeve të dy ekuacioneve me

dy ndryshore, kur një ekuacion është i fuqisë së parë;

- të përdorin mënyrën grafike për zgjidhjen e inekuacioneve të fuqisë së parë me dy

ndryshore dhe sistemeve të tyre;

- të gjejnë lirisht shenjën e shprehjeve ax+b, ax2+bx+c dhe ta përdorin këtë shkathtësi

për zgjidhjen e inekuacioneve të trajtës f(x)g(x)0 apo 0

g(x)

f(x)

 ku f(x) dhe g(x)

janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë;

- të përdorin në situata të thjeshta formulat e Vietës;

- të përdorin mënyrat për zgjidhjen e ekuacioneve bikuadrate e trinome;

- të përdorin zëvendësimin e ndryshores për të sjellë ekuacionin në një trajtë të

thjeshtë;

- të interpretojnë grafikisht zgjidhjen e ekuacioneve (inekuacioneve) të fuqisë së parë

apo të dytë me një ndryshore;

- të zgjidhin ekuacione irracionale të thjeshtë me një ndryshore (me një apo dy rrënjë

katrore);

- të përdorin mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale të thjeshta (të formës

au=av apo që sillen në këtë trajtë duke përdorur vetitë kryesore të fuqive);

- të njohin e të përdorin mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike të thjeshta (të

trajtës v

a

u

loga  log apo që sillen në këtë formë duke përdorur vetitë e logaritmeve);

- të zgjidhin lirisht ekuacionet trigonometrike elementare (të formës sinx=a, cosx=b,

tgx=c) si dhe të ekuacioneve trigonometrike që sillen në trajtat e mësipërme me anë

të shndërrimeve të thjeshta identike e të njëvlershme.

6. Funksioni (studimi elementar;njehsimi diferencial e integral)

Nxënësit të jenë të aftë:

A

-të gjejnë në një formulë vlerën e një shkronje kur jepen vlerat e shkronjave të tjera;

-të përdorin lirisht mënyra të ndryshme të dhënies së funksionit (tabela, diagrame,

grafikë, formula) duke kaluar sipas rastit nga një mënyrë e dhënies në një tjetër;

-të interpretojnë grafikisht vetitë themelore të funksionit numerik; të "lexojnë” vetitë

e një funksioni numerik duke u nisur nga paraqitja grafike e tij;

-të përdorin lirisht një sistem të gjerë kuptimesh (vlera në një pikë, bashkësia e

përcaktimit, bashkësia e vlerave, monotonia, kufizueshmëria, ekstremumet) për të

kryer një shqyrtim fillestar të variacionit të funksionit numerik;

-të paraqesin me mënyra të ndryshme, sipas situatës konkrete, funksionet elementarë

të mëposhtëm:

y = ax + b ; y = a/x; y = ax2; y = ax2 + bx +c ; y = x ; y = x3; y = ax; y = log a x; y

= sinx ; y = cos x;

-të përdorin grafikun e një funksioni të njohur f për të ndërtuar grafikët e

funksioneve – f , |f|, y = f (x – m), y = f(x) + n, y = f(x – m)+n;

-të krahasojnë me mënyrë algjebrike dhe grafikë dy funksione të thjeshtë të njohur;

-të japin me formulë përbërjen e dy funksioneve elementarë të dhënë me formula;

-të dallojnë nëse një funksion elementar i thjeshtë ka funksion të anasjelltë; të japin

sipas rastit funksionin e anasjelltë me formulë apo me grafik;

-të skicojnë grafikë funksionesh jo elementarë të thjeshtë, që në pjesë të ndryshme të

bashkësisë së përcaktimit jepen me formula të ndryshme;

-të gjejnë kufizën e vargut numerik kur njihet treguesi i saj, si për rastin kur njihet

formula yn= f(n), ashtu edhe për vargun e dhënë në mënyrë rekurrente yn= f(yn- 1);

-të gjejnë shumën e një progresioni gjeometrik të pafundëm zbritës;

B

-të gjejnë me mënyra të thjeshta limitet e funksioneve të zakonshëm (përfshirë

polinomet dhe funksionet racionalë thyesorë) ,edhe kur kemi forma të pacaktuara;

-të përdorin për gjetjen e limitit, rregullat e kalimit në limit në raste të thjeshta;

-të gjejnë asimptotat horizontale, vertikale dhe të pjerrëta të grafikut për funksione të

thjeshtë racionalë;

-të kontrollojnë nëse një funksion është i vazhdueshëm në një pikë;

-të përdorin përkufizimin e derivatit të funksionit për të njehsuar direkt derivatet e

disa funksioneve të thjeshtë (y = ax+b, y= ax2, y=a

x

a

x, y  );

-të përdorin rregullat e derivimit;

-të përdorin për raste të thjeshta rregullin për derivatin e funksionit të përbërë;

-të përdorin kuptimin gjeometrik të derivatit dhe kuptimin fizik të derivatit të rendit

të parë dhe të dytë;

-të përdorin derivatin për studimin e monotonisë së funksionit;

-të përdorin derivatin për gjetjen e ekstremumeve të funksionit;

- të përdorin derivatin e rendit të parë dhe të rendit të dytë për shqyrtimin e

variacionit të disa funksioneve elementarë;

- të skicojnë, mbi bazën e këtij shqyrtimi, grafikët e këtyre funksioneve;

- të përdorin njehsimin diferencial për modelimin matematik dhe zgjidhjen e

problemave me optimizim nga jeta e përditshme, matematika, lëndët e përafërta,

jeta reale;

-të gjejnë direkt primitivat e disa funksioneve elementarë të thjeshtë;

-të përdorin shndërrime të thjeshta të diferencialit, metodën e integrimit me pjesë,

metodën e zëvendësimit, për të gjetur integralin e paracaktuar për disa funksione

elementarë të thjeshtë (përfshirë funksione të trajtës y =

x a

P x



( )

ku P(x)-

polinom);

- të shkruajnë e të përdorin lidhjen midis integralit të pacaktuar dhe të caktuar

(formulën e Njuton – Laibnicit), të përdorin teknika të thjeshta për njehsimin e

integralit të caktuar;

- të përdorin integralin e caktuar për të njehsuar syprinën e trapezit vijë- përkulur në

raste të thjeshta.

7. Figurat gjeometrike (vetitë; pozicioni reciprok dhe shndrrimet e tyre)

Nxënësit të jenë të aftë:

- të përdorin vetitë kryesore të figurave gjeometrike të thjeshta (trekëndësh,

paralelogram, rreth etj);

- të përdorin lirisht kuptimet bazë të vektorit, koordinatës, shndërrimit (pasqyrimit)

gjeometrik;

- të përdorin në raste të thjeshta rastet e kongruencës së trekëndëshave;

- të përdorin në raste të thjeshta rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave;

- të ndërtojnë shëmbëllimin e një figure të thjeshtë në plan në një shndërrim

gjeometrik të caktuar (zhvendosje paralele, simetri qendrore, simetri boshtore,

homoteti);

- të përdorin teoremat mbi marrëdhëniet metrike në trekëndëshin kënddrejtë

(teoremat e Euklidit, Pitagorës) dhe në trekëndëshin çfarëdo (teorema e sinusit,

teorema e kosinusit) si edhe ato mbi marrëdhëniet metrike në rreth;

- të përdorin teoremat mbi pozitën reciproke të dy drejtëzave, ,të planit e drejtëzës, të

dy planeve në hapësirë në problema të thjeshta;

- të zbatojnë në situata të thjeshta vetitë kryesore të shumëfaqëshve dhe të trupave të

rrumbullakët kryesorë në hapësirë;

- të zgjidhin probleme të thjeshta gjeometrie duke i "përkthyer” ato në probleme

algjebrike, me anë të metodës së koordinatave;

- të përdorin kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian dhe atë të sipërfaqes

në hapësirën karteziane;

- të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës në plan kur janë dhënë elemente gjeometrike

përcaktues të saj; të analizojnë një ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore për

të nxjerrë veti gjeometrike të drejtëzës që ai paraqet;

- të përshkruajnë gjeometrikisht koniket (elips, hiperbolë, parabolë) dhe të tregojnë

ekuacionet kanonike të tyre në planin koordinativ; të kryejnë studimin e formës së

konikeve nga ekuacionet kanonike të tyre;

- të shkruajnë ekuacionin e rrethit kur njihet qendra dhe rrezja e tij, të zgjidhin

problemin e anasjelltë;

- të japin ekuacionin e planit dhe ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës në hapësirën

karteziane, kur janë dhënë elementë përcaktues gjeometrikë të tyre.

8. Matjet

Nxënësit të jenë të aftë:

- të përdorin kuptimin e gjatësisë, syprinës, vëllimit, masës së këndit; të përdorin lidhjen midis gradëve dhe radianëve;

- të njehsojnë kryesisht me formula, perimetra, syprina dhe vëllime si edhe masa këndesh në figura të thjeshta gjeometrike, në plan dhe në hapësirë;

- të gjejnë masën e një elementi të panjohur e që s’matet dot direkt nëpërmjet elementeve të njohur të një figure, duke përdorur formulat e teoremat e njohura për marrëdhëniet metrike apo metoda trigonometrike;

- të përdorin përpjesëtimet, relacionin e ngjashmërisë, lidhjet trigonometrike midis brinjëve dhe këndeve në trekëndëshin kënddrejtë, teoremën e sinusit apo të kosinusit në trekëndëshin çfarëdo, për të zgjidhur problema që kanë të bëjnë me matje indirekte syprinash a vëllimesh, duke përdorur teknikën llogaritëse, kur ajo është e mundshme.

9. Analiza e të dhënave dhe statistika (mbledhja, organizimi dhe paraqitja e të dhënave; përshkrimi dhe interpretimi i tyre; inferenca dhe parashikimi)

Nxënësit të jenë të aftë:

- t’i paraqesin të dhënat për një ndryshore në një popullim në forma të përmbledhura me anë tabelash dhe treguesish si efektivi, denduria, përqindja dhe të interpretojnë paraqitjet grafike kryesore që përmbledhin të dhënat: diagramin me shtylla, diagramin rrethor, histogramin, shumëkëndëshin e shpërndarjes, funksionin empirik të shpërndarjes;

- të njehsojnë karakteristikat e pozicionit (mesatare aritmetike, mesore, modë), të bëjnë dallimet midis tyre;

- të njehsojnë dhe të interpretojnë karakteristikat e shpërhapjes (amplituda, dispersioni, shmangia mesatare katrore).

10. Probabiliteti (kombinatorika; probabiliteti)

Nxënësit të jenë të aftë:

- të përdorin në situata të thjeshta parimet kryesore të numërimit, atë të shumëzimit dhe atë të mbledhjes;

- të njehsojnë mbi bazën e formulave përkatëse dhe t’i përdorin në skema të thjeshta numërimi kuptimet kombinatorike: dispozicioni, përkëmbimi dhe kombinacioni, në rastet e thjeshta, me dhe pa përsëritje;

- t’i përdorin kuptimet e mësipërme kombinatorike për gjetjen e probabiliteteve në situata të thjeshta;

- të përdorin formulat për njehsimin e koeficienteve binomialë;

- të përdorin pemën si metodë për gjetjen e të gjitha rezultateve të një prove që përsëritet

- të përdorin vetitë kryesore të veprimeve me ngjarjet;

- të njehsojnë probabilitetin e bashkimit e atë të prerjes së ngjarjeve në raste të thjeshta.

- të përdorin vetitë e probabiliteteve dhe rregullat e veprimeve me ta;

- të përdorin kuptimin e ngjarjeve të papajtueshme në raste të thjeshta, duke njehsuar probabilitetet përkatëse;

- të përdorin kuptimin e probabilitetit me kusht dhe kuptimin e ngjarjeve të pavarura në raste të thjeshta.

PESHA E SECILËS LINJË TË PËRMBAJTJES

Linja

Pesha

Numri

8%

Shprehjet me ndryshore

8%

Ekuacionet

12%

Funksioni

A. Studimi elementar

B. Njehsimi diferencial e integral

8%

18%

Figurat gjeometrike

20%

Matjet

16%

Statistika

4%

Kombinatorikë e probabilitet

6%